ΠΑΝΕΛΛΑ∆ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ – ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ)
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ∆ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x είναι f ‘ (x) = (x)’ = 1 για κάθε x στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών.
Μονάδες 8
Α2. α. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (μον. 3)
β. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή
και πότε συνεχής; (μον. 4)
Μονάδες 7
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Ισχύει ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
⎛ ⎜ ⎝ 1 x ⎞ ⎟ ⎠ ′ = x 1
2 , x∈ R − { }0 .
β. Ισχύει ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ‘ ( g ( x ) ) ⋅ g ‘ ( x ) , όπου f ,g
παραγωγίσιμες συναρτήσεις.
γ. Ο σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς.
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
δ. Σε κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, αν α iσυμβολίζει το τόξο του κυκλικού τμήματος που
αντιστοιχεί στη συχνότητα ν i, για i = 1,2,…,κ και ν το μέγεθος του τότε α i
= ν ν
i⋅ 360 o δείγματος.
ε. Αν lim( ) o ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ x → x f x = l 1 και lim ( ) ,
o x → x g x = l 2 όπου l 1 ,l 2 πραγματικοί αριθμοί, τότε lim( ( ) ( ))
o x → x f x g x = l 1 l 2 .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β Οι τιμές ενός δείγματος είναι 11, 7, κ, 13, 11, 10 όπου κ > 0 . Ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος είναι CV = 20% και η διακύμανσή του είναι s 24= . Β1. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή x του παραπάνω
δείγματος.
Μονάδες 5 Β2. Αν x = 10 , να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού
αριθμού κ .
Μονάδες 7 Β3. Αν κ 8= , να υπολογίσετε τη διάμεσο (δ ) (μον. 4) και
το εύρος (R) (μον. 2) του παραπάνω δείγματος.
Μονάδες 6 Β4. Αν από κάθε τιμή του παραπάνω δείγματος αφαιρεθεί ο αριθμός 2, να εξετάσετε αν το δείγμα των νέων τιμών είναι ομοιογενές (μον. 5) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (μον. 2).
Μονάδες 7
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
ΘΕΜΑ Γ ∆ίνεται η συνάρτηση f με τύπο:
f (x) = x 2 − 2x + 10 , x ∈R . Γ1. Να δείξετε ότι ‘f (x) = x 2 x − 1 . − 2x +
10
Μονάδες 3 Γ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία
(μον. 5) και να δείξετε ότι f(x) ≥ 3 για κάθε x∈R (μον. 6).
Μονάδες 11 Γ3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M ( 5,f ( 5 ) ) .
Μονάδες 6 Γ4. Αν Α , Β είναι τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε με τους άξονες x’ x και y’ y αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α (μον. 3) και Β (μον. 2).
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ ∆ ∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R με τύπο:
f (x) = x 3 − 3x 2 + λx , όπου λ∈R σταθερά. ∆1. Για λ = 3 να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία (μον. 4) και να συγκρίνετε τους αριθμούς f ⎛ ⎜ ⎝ 8
3 ⎞ ⎟ ⎠ και f ⎛ ⎜ ⎝ 6
5 ⎞ ⎟ ⎠ (μον. 3).
Μονάδες 7
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ
∆2. Για λ = 3 να υπολογίσετε το όριο:
lim x → 1 ( ) ( 2 ) ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ f ‘ (x) x − 1 ⋅ x − x .
Μονάδες 7
∆3. Για λ = 3 να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης.
Μονάδες 6
∆4. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την οποία η
συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ακρότατα.
Μονάδες 5
Διαβάστε όλες τις ειδήσεις για την Εύβοια
Διαβάστε όλες τις τελευταίες ειδήσεις για την Ελλάδα και τον Κόσμο στο evima.gr